Сегодня математика интенсивно развивается. Она применяет мощные компьютерные методы и находит новые приложения; проблемы, которые казались очень трудными, находят свое решение. Но в фокусе общественного внимания математика оказывается очень редко. За последние десять-пятнадцать лет это случилось всего дважды: широкий общественный резонанс получила работа Эндрю Уайлса (Sir Andrew John Wiles), доказавшего теорему Ферма, и результат Григория Перельмана, доказавшего гипотезу Пуанкаре.
О месте, которое заняли в современной математике эти достижения, чем занимается сегодня эта древнейшая наука, рассказывает выдающийся российский математик, профессор математического института Куранта Нью-Йоркского университета (The Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University) Федор Богомолов (Fedor Bogomolov).
– Как вы оцениваете состояние современной математики?
Рисунок показывает случайную поверхность, которая может рассматриваться как «тающий кристалл». Сердцевидная кривая образующая границу между «тающей» и «замерзшей» областью получила название кардиоида Окунькова. За работу в которой, в частности, была исследована эта кардиоида Андрей Окуньков был удостоен Филдсовской медали. Рисунок Андрея Окунькова и Richard Kenyon. – В целом, мне кажется, математика сегодня находится в приличном состоянии. И за последнее время были получены замечательные результаты. В частности, можно назвать работы, удостоенные Филдсовских медалей (Fields Medals 2006) на последнем математическом конгрессе (International Congress of Mathematicians 2006): это и ставшее таким знаменитым доказательство гипотезы Пуанкаре Григорием Перельманам, и работы Андрея Окунькова и Теренца Тау (Terence Tao). Можно утверждать, что получение этих результатов было невозможно, скажем 50 лет назад, а сегодня их удалось получить, потому что достигнут совершенно новый уровень понимания.
– Доказательство гипотезы Пуанкаре или теоремы Ферма – это результат развития математики в целом или это достижения отдельных выдающихся математиков?
– Это все-таки результат развития математики в целом. Скажем, доказательству гипотезы Пуанкаре, которое предложил Перельмана, предшествовал очень долгий процесс понимания. В математике есть вещи, которые просто нельзя сделать быстро. Решению предшествует долгий процесс освоения, создания новой системы понятий и нового аппарата исследований. И только в результате такого длительного процесса математик приближается к решению, хотя иногда проблема выглядит очень простой. В математике простые вопросы часто затрагивают глубокие проблемы.
– Является ли доказательство теоремы Ферма настоящим математическим достижением? Ведь внешне результат сводится всего лишь к утверждению: да, она верна.
– Доказательство теоремы Ферма – это, конечно, очень серьезное достижение. Необходимо отметить, что это доказательство стало следствием широкой исследовательской программы. А сама теорема Ферма благодаря своей истории и популярности эту программу стимулировала. Но совокупность идей и результатов, которые были получены, с моей точки зрения, гораздо значительнее самой теоремы Ферма.
Теорема Ферма обладает замечательной историей. Этот, казалось бы, странный вопрос привел к созданию многих замечательных понятий и получению множества интереснейших результатов, многие из которых даже не имеют отношения теории чисел. Тот факт, что к доказательству привели глубокие идеи, это – настоящий успех науки.
Так бывает не всегда. С моей точки зрения, решение другой знаменитой задачи - Проблемы четырех красок - было получено иначе, хотя исходные позиции очень похожи. Так же как теорема Ферма Проблема четырех красок была легко решена для нескольких частных случаев, но доказательство в общем виде никак не давалось математикам. Но результат оказался принципиально отличным: доказательство теоремы Ферма привело к созданию и разработке глубоких проблем, а вот проблема Четырех красок была, конечно, решена, но она не дала стимула для других исследований. Я бы сказал, она была решена не так красиво.
Со времени доказательства теоремы Ферма и с использованием того аппарата, который применялся для доказательства, достигнут очень большой прогресс в теории чисел. Программа объединения математики, которая была сформулирована сорок лет назад и казалась абсолютно фантастической (Программа Роберта Ленглендса – Geometric Langlands Program) получила в результате доказательства теоремы Ферма неожиданное подтверждение. На мой взгляд, это несомненное свидетельство прогресса всей математики как целого.
Модулярная форма, соответствующая определенной эллиптической кривой. Прямое соответствие между модулярными формами и эллиптическими кривыми, доказанное Эндрю Уайлсом, стало основой доказательства теоремы Ферма. – Математика существует в общем пространстве познания. Насколько методологические и метаматематические принципы влияют на работу математика?
– В реальной работе математика ощущение правильности, основанное на внутренней логике и красоте, очень важно. Особенно большую роль оно играет в процессе выработки естественных гипотез. Когда ставится проблема, когда ты стараешься понять причину происходящего, хочется схватить логику объекта, внутреннюю эстетику того, с чем ты работаешь. И если ты правильно ее понимаешь, она иногда оказывается совершенно неожиданной. И это помогает сдвинуться с мертвой точки.
Если мы забываем о внутренней логике и эстетике мы можем получить, я бы сказал, неправильное правильное решение.
Иногда проблему можно «сломать», так сказать, получить решение с позиции силы. Но одно из замечательных свойств математики заключается в том, что такое решение редко считается удовлетворительным. Бывает очевидно, что задачу «пробили», но остается вопрос: почему результат именно такой? И систематически математики посвящают свои усилия, казалось бы, бессмысленному переоткрытию, передоказательству установленных результатов, но переоткрытию с правильной точки зрения. Математики продолжают поиск, пока не найдут настоящего адекватного решения. Адекватное решение – это то, которое вытекает из внутренней логики проблемы, из чувства внутренней красоты и завершенности. Такое решение не может быть изолированным, оно должно завершать некоторый ансамбль.
– Какие процессы сегодня сдерживают развитие математики?
– В математике есть такие же проблемы, как и в других интенсивно развивающихся науках. Одна из них, конечно, растущая специализация – проблема непрерывного деления и расхождения областей исследований. Это – естественный процесс, который происходит просто потому, что, углубляясь в частную проблему, необходимо создавать новые понятия и разрабатывать элементы нового языка. А в результате постепенно формируется группа ученых, которая только этой частной проблемой и занимается, а другие математики не очень хорошо представляют, что в этой узкой области делается.
Это неизбежно, но процесс специализации идет параллельно с объединением различных направлений науки на новых более широких основаниях. В XVIII веке наука была буквально забита противоречивой, нечеткой терминологией, и тогда небольшая ученых прочистила это поле и реально создала ту площадку, на которой возникла образовательная система XIX века.
Так что специализация и объединение – это стороны одной работы. Проблемы возникают тогда, когда один процесс опережает другой.
По образованию я тополог, но сегодня топология уже не относится к области моих непосредственных занятий. Когда я попадаю на специальные топологические конференции, мне уже сложно разобраться в обсуждаемых проблемах, главным образом, из-за трудности терминологии.
Но борьба за единство науки идет постоянно. Я хочу подчеркнуть, что для объединения тех областей, которыми я в основном занимаюсь, огромную роль сыграли семинары Никола Бурбаки (L'Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki). «Никола Бурбаки» – это коллективный псевдоним группы математиков, в основном французских, которая сделала попытку изложить основные математические дисциплины с точки зрения единого аксиоматического метода. Они начали работать еще в 1935 году. Сегодня семинар Бурбаки не столь популярен, как скажем в 1960-ые годы, но он продолжает работать.
Каждый год на трех заседаниях семинара делаются доклады о наиболее важных математических результатах. Как правило, доклад делает не автор, а специально приглашенный математик. Причем доклад должен быть максимально доступным для широкой математической аудитории.
Главная идея состоит в том, что математик, готовящий доклад, должен глубоко разобраться в новом результате и изложить его уже не в оригинальной форме, а в более доступной. Оригинальные статьи практически всегда трудно читать. Автор слишком тесно связан с тем, что он сделал, ему трудно взглянуть на результат со стороны. Это проще сделать другому специалисту. Возможно, уровень семинаров раньше был выше, но и сейчас эти доклады очень полезны, потому что после них можно читать оригинальную работу, поскольку ты уже знаешь основные линии рассуждений в более доступном изложении. А ведь если статью трудно прочесть – это значит, что результат очень медленно входит в науку. Я очень рад, что значительная часть математики благодаря работе Никола Бурбаки осталась единой.
– Как повлияло развитие компьютеров и глобальных сетей на математику?
– Можно привести пример непосредственного влияния информационных технологий на математику. В связи с развитием интернета математики сосредоточили внимание на теории больших случайных графов. Граф – это математическая структура, которая состоит из вершин (узлов) и ребер (связей между вершинами). Это очень похоже на интернет, где компьютеры являются вершинами, а каналы связи – ребрами. Математики задались вопросами: «Каков характер связей в таких графах? Какие они имеют свойства?» И были получены очень интересные результаты.
Распространение компьютерных вычислений повлияло на соотношение дискретного и непрерывного в математике. Сейчас происходит смена поколений ученых – не математиков, а тех, кто применяет математику. У меня такое ощущение, что та физика, которую мы знаем, ее конкретный вид напрямую зависит от аппарата, который ученые применяют. На протяжении веков аппаратом был математический анализ – интегралы, дифференциальные уравнения и другие методы работы с непрерывными объектами. Но компьютер работает не с непрерывными, а с двоичными дискретными объектами или в обобщенном смысле с объектами, основанными на геометрии конечных полей. И сегодня происходит интенсивное развитие этой области. Я думаю, что через какое-то время мы увидим смену математического аппарата, который используется в физике, и даже того, которым пользуются ученые в других областях.
Кроме того, компьютеры расширили экспериментальную базу математики. Сегодня математики работают непосредственно с очень большими числами – по 20-30 знаков. При компьютерном исследовании таких чисел возникают совершенно неожиданные закономерности, непохожие на те, которые предполагались, когда люди работали, грубо говоря, карандашом.
Сейчас работа специалиста по теории чисел часто не сводится только к построению абстрактного алгоритма счета или решению задачи на аналитическом уровне. Необходимо предусмотреть построение быстрых эффективных алгоритмов. При работе с большими числами возникают задачи другого порядка, в частности, это разложение на простые числа, которое напрямую связано с криптографией. Можно сказать, что такова сегодня работа математика, занятого теорией чисел: классические задачи, но с огромными числами.
– Какие задачи можно выделить в алгебраической геометрии, которой вы непосредственно занимаетесь?
– Это довольно трудно изложить на популярном языке. Действительно в алгебраической геометрии есть некоторые программы, которые близки к завершению. Я рискну назвать одну из них: это классификация алгебраических многообразий. Это – большая задача, которая, по-видимому, будет завершена в ближайшем будущем. Есть задачи, которые вышли из математики, но неожиданно оказались связаны с физикой. Теория многообразий – это интереснейшая полуфизическая область, где множество странных эффектов, которые еще предстоит понять. Но возможно наибольший прогресс будет достигнут и совсем в другом направлении.
Вообще в математике прогресс часто бывает неожиданным. Все занимаются одной проблемой, которая кажется самой важной, но кто-то придумывает простой трюк, и оказывается, что самая интересная задача совсем в другом месте. Все вроде бы занимались серьезным делом, и казалось, успех едва ли не гарантирован, но где-то сбоку появляется результат, который все сметает с доски.
– Существуют разные точки зрения на то, что такое математика: игра или язык, или раздел физики. Что такое математика?
– Как у всякого достаточно богатого объекта у математики столько граней, что, конечно же, нельзя сказать, что такое математика вообще. Но каждый человек может сказать, чем она является для него. Это другой вопрос, и я попробую ответить, чем математика является для меня. Мне нравится связь математики с физикой. То, что такая связь существует, – это хорошо. Это позволяет ощутить твердую почву под ногами. Но все-таки математика – это не физика, это – самостоятельный мир.
Этот мир вполне реален, у него есть своя логика. Поэтому прямо сводить математику к физике я бы не стал. В математику из физики приходят интересные идеи – это взаимодействие, конечно, исключительно плодотворно, но к этому математика не сводится. В математике есть и самостоятельные линии развития.
И это не игра. Занимаясь математикой, ты работаешь с реальностью, только это не физическая реальность, это реальность другого типа. Игра – это что-то придуманное, а математика – это независимый от человека объект. Когда работаешь над математическими проблемами, всегда есть ощущение, что ты имеешь дело с реальностью. Конечно, ты исследуешь абстрактные конструкции, но это конструкции и отношения между объектами, которые существуют на самом деле.
Человек, с моей точки зрения, существо принципиально ограниченное. И я могу отвечать только за то, что я знаю, понимаю и чувствую. Может быть, мое ощущение математики как особой реальности неверно, но, опираясь именно на это ощущение, я живу и действую.
Ссылки
Федор Богомолов. Новые перспективы науки. Публичная лекция.
Федор Богомолов: «Из научной интеллигенции можно сформировать "сословие экспертов"». Интервью Ольги Орловой.
«Как поднять престиж образования». Беседа Федора Богомолова с Александром Костинским. Радио Свобода. Программа образование.
Manifold Destiny. A legendary problem and the battle over who solved it By Sylvia Nasar and David Gruber, New Yorker, 28 августа 2006 года. (О доказательстве гипотезы Пуанкаре и о борьбе за приоритет)
Дмитрий Абраров «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»
Саймон Сингх. «Великая теорема Ферма»
