Нарадзіўся 20 ліпеня 1981 году ў Івацэвіцкім раёне Берасьцейскай вобласьці, да пяці гадоў жыў на Далёкім Усходзе — у пасёлку Ягаднае Магаданскай вобласьці Расеі. Пасьля вяртаньня сям’і ў Беларусь — у райцэнтры Старыя Дарогі Менскай вобласьці.
Вучыўся ў Гарадзенскім сельскагаспадарчым інстытуце. Пазьней паступіў у Віленскі пэдагагічны ўнівэрсытэт на факультэт славістыкі.
У 2001 годзе далучыўся да моладзевага нацыянальнага руху «Малады Фронт».
Увосень 2001 году быў адным з абаронцаў Курапатаў. Узначаліў Менскую гарадзкую арганізацыю Маладога Фронту. Актыўны ўдзельнік і арганізатар шматлікіх масавых акцыяў і мерапрыемстваў дэмакратычных сілаў Беларусі.
У 2004 годзе, калі абвясьцілі вынікі рэфэрэндуму пра трэці тэрмін Лукашэнкі, выступіў супраць незаконных дзеяньняў уладаў.
Пасьля Сойму арганізацыі 2004 г. — лідэр Маладога Фронту. У 2005–2006 гг. быў удзельнікам кампаніі адзінага кандыдата ад аб’яднаных дэмакратычных сілаў Аляксандра Мілінкевіча. Пасьля сфальсыфікаваных прэзыдэнцкіх выбараў у сакавіку 2006 г. — адзін з арганізатараў масавых акцыяў грамадзкага пратэсту і адзін зь лідэраў намётавага мястэчка на Кастрычніцкай плошчы ў Менску (плошчы Каліноўскага).
1 лістапада 2006 году Зьміцер Дашкевіч быў асуджаны на паўтара года пазбаўленьня волі паводле артыкула 193-1 КК (дзейнасьць ад імя незарэгістраванай арганізацыі) з адбываньнем пакараньня ў Шклоўскай калёніі агульнага рэжыму. У сьнежні 2006 году міжнародная арганізацыя Amnesty International прызнала Зьмітра Дашкевіча вязьнем сумленьня. Пад ціскам міжнароднай супольнасьці Дашкевіч быў вызвалены датэрмінова 23 студзеня 2008 году.
У лістападзе 2007 году Дашкевіча аштрафавалі паводле артыкула 402 КК «Адмова альбо ўхіленьне сьведкі ад дачы паказаньняў» за адмову даваць паказаньні супраць сваіх сяброў з «Маладога Фронту», у прыватнасьці, супраць Яна Шылы
18 сьнежня 2010 году быў затрыманы ў Менску. Паводле інфармацыі ГУУС Менгарвыканкаму, у двары жылога дому па вуліцы Янкі Брыля яны разам з таварышам па Маладым Фронце Эдуардам Лобавым нібыта зьбівалі грамадзян Канстанціна Савіцкага і Алега Малышава. Затрыманьне Дашкевіча і Лобава было прэвэнтыўнай мерай міліцыі напярэдадні выбараў прэзыдэнта, якія меліся прайсьці на наступны дзень.
24 сакавіка 2011 году Зьмітра асудзілі на 2 гады зьняволеньня ў калёніі агульнага рэжыму. 28 жніўня 2012 году, проста ў Глыбоцкай калёніі, асудзілі ізноў — за «злоснае непадпарадкаваньне патрабаваньням адміністрацыі калёніі».
Вучыўся ў Гарадзенскім сельскагаспадарчым інстытуце. Пазьней паступіў у Віленскі пэдагагічны ўнівэрсытэт на факультэт славістыкі.
У 2001 годзе далучыўся да моладзевага нацыянальнага руху «Малады Фронт».
Увосень 2001 году быў адным з абаронцаў Курапатаў. Узначаліў Менскую гарадзкую арганізацыю Маладога Фронту. Актыўны ўдзельнік і арганізатар шматлікіх масавых акцыяў і мерапрыемстваў дэмакратычных сілаў Беларусі.
У 2004 годзе, калі абвясьцілі вынікі рэфэрэндуму пра трэці тэрмін Лукашэнкі, выступіў супраць незаконных дзеяньняў уладаў.
Пасьля Сойму арганізацыі 2004 г. — лідэр Маладога Фронту. У 2005–2006 гг. быў удзельнікам кампаніі адзінага кандыдата ад аб’яднаных дэмакратычных сілаў Аляксандра Мілінкевіча. Пасьля сфальсыфікаваных прэзыдэнцкіх выбараў у сакавіку 2006 г. — адзін з арганізатараў масавых акцыяў грамадзкага пратэсту і адзін зь лідэраў намётавага мястэчка на Кастрычніцкай плошчы ў Менску (плошчы Каліноўскага).
1 лістапада 2006 году Зьміцер Дашкевіч быў асуджаны на паўтара года пазбаўленьня волі паводле артыкула 193-1 КК (дзейнасьць ад імя незарэгістраванай арганізацыі) з адбываньнем пакараньня ў Шклоўскай калёніі агульнага рэжыму. У сьнежні 2006 году міжнародная арганізацыя Amnesty International прызнала Зьмітра Дашкевіча вязьнем сумленьня. Пад ціскам міжнароднай супольнасьці Дашкевіч быў вызвалены датэрмінова 23 студзеня 2008 году.
У лістападзе 2007 году Дашкевіча аштрафавалі паводле артыкула 402 КК «Адмова альбо ўхіленьне сьведкі ад дачы паказаньняў» за адмову даваць паказаньні супраць сваіх сяброў з «Маладога Фронту», у прыватнасьці, супраць Яна Шылы
18 сьнежня 2010 году быў затрыманы ў Менску. Паводле інфармацыі ГУУС Менгарвыканкаму, у двары жылога дому па вуліцы Янкі Брыля яны разам з таварышам па Маладым Фронце Эдуардам Лобавым нібыта зьбівалі грамадзян Канстанціна Савіцкага і Алега Малышава. Затрыманьне Дашкевіча і Лобава было прэвэнтыўнай мерай міліцыі напярэдадні выбараў прэзыдэнта, якія меліся прайсьці на наступны дзень.
24 сакавіка 2011 году Зьмітра асудзілі на 2 гады зьняволеньня ў калёніі агульнага рэжыму. 28 жніўня 2012 году, проста ў Глыбоцкай калёніі, асудзілі ізноў — за «злоснае непадпарадкаваньне патрабаваньням адміністрацыі калёніі».